% \global\newcommand{\n}{\\ \ \\}
% \global\newcommand{\embrace}[3]{
% \left#2
% \begin{split}
% #1
% \end{split}
% \right#3
% }
% \global\newcommand{\aembrace}[1]{
% \embrace{#1}{\{}{\}}
% }
% \global\newcommand{\pembrace}[1]{
% \embrace{#1}{(}{)}
% }
% \global\newcommand{\cembrace}[1]{
% \embrace{#1}{[}{]}
% }
TD4 FDPV
Ex 6
4)
D = { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ y ≥ 0 , x − y + 1 ≥ 0 , x + 2 y − 4 < 0 } I = ∫ ∫ f ( x , y ) d x d y
D = \aembrace{(x,y) \in \R^2 \ |\ y \ge 0, x-y+1\ge0, x+2y-4\lt0}\n
I = \int\int f(x,y)dxdy\n
D = { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ y ≥ 0 , x − y + 1 ≥ 0 , x + 2 y − 4 < 0 } I = ∫∫ f ( x , y ) d x d y
Représenter le domaine D
Calculer l'intégrale
On segmente l’intervalle d’int e ˊ gration sur x en 2 portions ∫ − 1 x m ∫ 0 y 1 x d y d x + ∫ x M 4 ∫ 0 y 2 x d y d x y 1 ( x ) = x + 1 y 2 ( x ) = 2 − x 2 3 2 x = 2 − 1 ⇒ x m = 2 3 ⇒ y m = 5 3 \text{On segmente l'intervalle d'intégration sur x en 2 portions}\
\int^{x_m}_{-1}\int^{y_1}_{0}xdydx + \int^4_{x_M}\int^{y_2}_0xdydx\n
y_1(x)=x+1\ \ \ y_2(x)=2-\frac{x}{2}\n
\frac{3}{2}x=2-1 \Rightarrow x_m = \frac{2}{3} \Rightarrow y_m=\frac{5}{3}\n
On segmente l’intervalle d’int e ˊ gration sur x en 2 portions ∫ − 1 x m ∫ 0 y 1 x d y d x + ∫ x M 4 ∫ 0 y 2 x d y d x y 1 ( x ) = x + 1 y 2 ( x ) = 2 − 2 x 2 3 x = 2 − 1 ⇒ x m = 3 2 ⇒ y m = 3 5
∫ ∫ f ( x , y ) d x d y ∣ f ( x , y ) = x I = ∫ − 1 2 3 x ∫ 0 x + 1 d y d x + ∫ 2 3 4 x ∫ 0 2 − x 2 d y d x = ∫ − 1 2 3 x [ y ] 0 x + 1 d x + ∫ 2 3 4 x [ y ] 0 x + 1 d x = ∫ − 1 2 3 x ( x + 1 ) + ∫ 2 3 4 x ( 2 − x 2 ) d x = [ x 3 3 + x 2 2 ] − 1 2 3 + [ x 2 − x 3 6 ] 2 3 4 = 1 3 ( 2 3 ) 3 + ( 2 3 ) 2 ∗ 1 2 − ( ( − 1 ) 3 3 + ( − 1 ) 2 2 + 4 2 − 4 3 6 − ( 2 3 ) 2 − ( 2 3 ) 3 ∗ 1 6 ) = 8 81 + 2 9 − ( − 1 3 + 1 2 ) + 16 − 32 3 − ( 4 9 − 4 27 ∗ 1 3 ) = 8 81 + 18 81 − 1 6 + 16 − 32 3 − 32 81 = 8 ∗ 6 + 18 ∗ 16 − 81 + 16 ∗ 81 ∗ 6 − 32 ∗ 81 ∗ 2 − 32 ∗ 6 81 ∗ 6 = 2475 486 = 275 54 ≈ 5 , 09 \int\int f(x,y)dxdy \ \ \ |\ \ \ f(x,y)=x\n
\begin{split}
\hspace{2cm}I &= \int^{\frac{2}{3}}_{-1}x\int^{x+1}_0dydx + \int^4_{\frac{2}{3}}x\int^{2-\frac{x}{2}}_0dydx\n
&= \int^{\frac{2}{3}}_{-1}x[y]_0^{x+1}dx + \int^4_{\frac{2}{3}}x[y]_0^{x+1}dx\n
&= \int^{\frac{2}{3}}_{-1}x(x+1) + \int^4_{\frac{2}{3}}x(2-\frac{x}{2})dx\n
&= \cembrace{\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}}^{\frac{2}{3}}_{-1}+\cembrace{x^2-\frac{x^3}{6}}^4_{\frac{2}{3}}\n
&= \frac{1}{3}\pembrace{\frac{2}{3}}^3+\pembrace{\frac{2}{3}}^2*\frac{1}{2}\\
&\quad\quad-\pembrace{\frac{(-1)^3}{3}+\frac{(-1)^2}{2} + 4^2 - \frac{4^3}{6}-\pembrace{\frac{2}{3}}^2-\pembrace{\frac{2}{3}}^3*\frac{1}{6}}\n
&=\frac{8}{81}+\frac{2}{9}-\pembrace{\frac{-1}{3}+\frac{1}{2}}+16-\frac{32}{3}-\pembrace{\frac{4}{9}-\frac{4}{27}*\frac{1}{3}}\n
&= \frac{8}{81}+\frac{18}{81}-\frac{1}{6} + 16-\frac{32}{3}-\frac{32}{81}\n
&= \frac{8*6+18*16-81+16*81*6-32*81*2-32*6}{81*6}\n
&=\frac{2475}{486} = \frac{275}{54} \approx 5,09
\end{split}
∫∫ f ( x , y ) d x d y ∣ f ( x , y ) = x I = ∫ − 1 3 2 x ∫ 0 x + 1 d y d x + ∫ 3 2 4 x ∫ 0 2 − 2 x d y d x = ∫ − 1 3 2 x [ y ] 0 x + 1 d x + ∫ 3 2 4 x [ y ] 0 x + 1 d x = ∫ − 1 3 2 x ( x + 1 ) + ∫ 3 2 4 x ( 2 − 2 x ) d x = [ 3 x 3 + 2 x 2 ] − 1 3 2 + [ x 2 − 6 x 3 ] 3 2 4 = 3 1 ( 3 2 ) 3 + ( 3 2 ) 2 ∗ 2 1 − ( 3 ( − 1 ) 3 + 2 ( − 1 ) 2 + 4 2 − 6 4 3 − ( 3 2 ) 2 − ( 3 2 ) 3 ∗ 6 1 ) = 81 8 + 9 2 − ( 3 − 1 + 2 1 ) + 16 − 3 32 − ( 9 4 − 27 4 ∗ 3 1 ) = 81 8 + 81 18 − 6 1 + 16 − 3 32 − 81 32 = 81 ∗ 6 8 ∗ 6 + 18 ∗ 16 − 81 + 16 ∗ 81 ∗ 6 − 32 ∗ 81 ∗ 2 − 32 ∗ 6 = 486 2475 = 54 275 ≈ 5 , 09
5)
D = { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ 0 ≤ x ≤ 1 , x 2 ≤ y ≤ x } D = \aembrace{(x,y) \in \R^2\ |\ 0\le x\le 1, x^2\le y\le x}
D = { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ 0 ≤ x ≤ 1 , x 2 ≤ y ≤ x }
Représenter le domaine D
Calculer l'intégrale
I = ∫ ∫ f ( x , y ) d x d y ∣ f ( x , y ) = ( x + y ) = ∫ 0 1 ∫ x 2 x ( x + y ) d y d x = ∫ 0 1 [ x y + y 2 2 ] x 2 x d x = ∫ 0 1 x 2 + x 2 2 − ( x 3 + x 4 2 ) d x = ∫ 0 1 ( − x 4 2 − x 3 + 3 2 x 2 ) d x = [ − x 5 10 − x 4 4 + 3 2 x 3 3 ] 0 1 = − 1 10 − 1 4 + 1 2 = − 2 20 − 5 20 + 10 20 I = 3 20 \begin{split}
I &=\int\int f(x,y)dxdy\ \ \ |\ \ \ f(x,y) =(x+y)\n
&= \int^1_0\int^x_{x^2}(x+y)dydx\n
&=\int^1_0\cembrace{xy+\frac{y^2}{2}}^x_{x^2}dx\n
&= \int^1_0x^2+\frac{x^2}{2}-\pembrace{x^3+\frac{x^4}{2}}dx\n
&= \int^1_0\pembrace{\frac{-x^4}{2}-x^3+\frac{3}{2}x^2}dx\n
&=\cembrace{\frac{-x^5}{10}-\frac{x^4}{4}+\frac{3}{2}\frac{x^3}{3}}^1_0\n
&= \frac{-1}{10}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\n
&=\frac{-2}{20}-\frac{5}{20}+\frac{10}{20}\n
I&=\frac{3}{20}
\end{split}
I I = ∫∫ f ( x , y ) d x d y ∣ f ( x , y ) = ( x + y ) = ∫ 0 1 ∫ x 2 x ( x + y ) d y d x = ∫ 0 1 [ x y + 2 y 2 ] x 2 x d x = ∫ 0 1 x 2 + 2 x 2 − ( x 3 + 2 x 4 ) d x = ∫ 0 1 ( 2 − x 4 − x 3 + 2 3 x 2 ) d x = [ 10 − x 5 − 4 x 4 + 2 3 3 x 3 ] 0 1 = 10 − 1 − 4 1 + 2 1 = 20 − 2 − 20 5 + 20 10 = 20 3
6)
D = { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ x y ≤ π 2 } D = \aembrace{(x,y)\in \R^2\ |\ 1\le x\le 2, 0\le xy\le \frac{\pi}{2}}
D = { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ x y ≤ 2 π }
Représenter le domaine D
Calculer l'intégrale
I = ∫ ∫ D f ( x , y ) d x d y ∣ f ( x , y ) = c o s ( x y ) = ∫ 1 2 ∫ 0 π 2 x c o s ( x y ) d y d x = ∫ 1 2 [ 1 x s i n ( x y ) ] 0 π 2 x d x = ∫ 1 2 1 x sin π 2 d x = ∫ 1 2 1 x d x = [ l n ( x ) ] 1 2 = l n ( 2 ) − l n ( 1 ) I = l n ( 2 ) \begin{split}
I &= \int\int_D f(x,y)dxdy\ \ \ |\ \ \ f(x,y)=cos(xy)\n
&= \int^2_1\int^{\frac{\pi}{2x}}_0 cos(xy)dy\ dx\n
&= \int^2_1\cembrace{\frac{1}{x}sin(xy)}^{\frac{\pi}{2x}}_0dx\n
&= \int^2_1\frac{1}{x}\sin{\frac{\pi}{2}}\ dx\n
&= \int^2_1\frac{1}{x}dx\n
&= \cembrace{ln(x)}^2_1= ln(2)-ln(1)\n
I&= ln(2)
\end{split}
I I = ∫ ∫ D f ( x , y ) d x d y ∣ f ( x , y ) = cos ( x y ) = ∫ 1 2 ∫ 0 2 x π cos ( x y ) d y d x = ∫ 1 2 [ x 1 s in ( x y ) ] 0 2 x π d x = ∫ 1 2 x 1 sin 2 π d x = ∫ 1 2 x 1 d x = [ l n ( x ) ] 1 2 = l n ( 2 ) − l n ( 1 ) = l n ( 2 )
7)
D = { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ x ≥ 0 , y ≥ 0 , x y + x + y ≤ 1 } I = ∫ ∫ f ( x , y ) d x d y D = \aembrace{(x,y) \in \R^2 \ |\ x\ge 0,\ y\ge 0,\ xy+x+y \le1 }\n
I = \int\int f(x,y)dxdy\n
D = { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ x ≥ 0 , y ≥ 0 , x y + x + y ≤ 1 } I = ∫∫ f ( x , y ) d x d y
Représenter le domaine D
x y + y + x ≤ 1 y ( x + 1 ) ≤ 1 − x y ≤ 1 − x 1 + x xy+y+x \le1\n
y(x+1)\le1-x
\n
y\le \frac{1-x}{1+x}
x y + y + x ≤ 1 y ( x + 1 ) ≤ 1 − x y ≤ 1 + x 1 − x
Calculer l'intégrale
I = ∫ ∫ D f ( x , y ) d x d y ∣ f ( x , y ) = x y = ∫ 0 1 x ∫ 0 1 − x 1 + x y d y d x = ∫ 0 1 [ y 2 2 ] 0 1 − x 1 + x d x = ∫ 0 1 1 2 ( 1 − x 1 + x ) 2 x d x = ∫ 0 1 ( 1 + x 2 − 2 x ) x 2 ( 1 + x 2 + 2 x ) d x = ∫ 0 1 x 3 − 2 x 2 + x 2 x 2 + 4 x + 2 d x D e ˊ composition en e ˊ l e ˊ ments simples I = \int\int_D f(x,y)dxdy\ \ \ |\ \ \ f(x,y)=xy\n
= \int^1_0x\int^{\frac{1-x}{1+x}}_0ydy\ dx\n
= \int^1_0\cembrace{\frac{y^2}{2}}^{\frac{1-x}{1+x}}_0 dx\n
= \int^1_0 \frac{1}{2}\pembrace{\frac{1-x}{1+x}}^2xdx\n
= \int^1_0\frac{\pembrace{1+x^2-2x}x}{2\pembrace{1+x^2+2x}}dx\n
= \int^1_0\frac{x^3-2x^2+x}{2x^2+4x+2}dx\n
\text{Décomposition en éléments simples}\n
I = ∫ ∫ D f ( x , y ) d x d y ∣ f ( x , y ) = x y = ∫ 0 1 x ∫ 0 1 + x 1 − x y d y d x = ∫ 0 1 [ 2 y 2 ] 0 1 + x 1 − x d x = ∫ 0 1 2 1 ( 1 + x 1 − x ) 2 x d x = ∫ 0 1 2 ( 1 + x 2 + 2 x ) ( 1 + x 2 − 2 x ) x d x = ∫ 0 1 2 x 2 + 4 x + 2 x 3 − 2 x 2 + x d x D e ˊ composition en e ˊ l e ˊ ments simples
I = ∫ 0 1 x 2 − 2 + 4 x + 2 ( 1 + x ) 2 d x ∣ 4 x + 2 ( 1 + x ) 2 = α 1 + x + β ( 1 + x ) 2 α ( 1 + x ) + β ( 1 + x ) 2 = α x + α + β ( 1 + x ) 2 { α = 4 α + β = 2 ⇒ β = − 2 I = ∫ 0 1 x 2 − 2 + 4 1 + x − 2 ( 1 + x ) 2 d x = [ x 2 4 − 2 x + 4 l n ( 1 + x ) + 2 1 + x ] 0 1 = 1 4 − 2 + 4 l n ( 2 ) + 2 2 − ( 2 ) I = 1 4 − 3 + 4 l n ( 2 ) = 4 l n ( 2 ) − 11 4 \begin{split}
I&= \int^1_0 \frac{x}{2}-2+\frac{4x+2}{\pembrace{1+x}^2}dx\n
&\quad\embrace{
&\frac{4x+2}{(1+x)^2} = \frac{\alpha}{1+x}+\frac{\beta}{(1+x)^2}\n
&\frac{\alpha\pembrace{1+x}+\beta}{\pembrace{1+x}^2} =\frac{\alpha x + \alpha + \beta}{\pembrace{1+x}^2}\n
&\embrace{
&\alpha=4\\
&\alpha+\beta=2
}{\{}{.}\quad\Rightarrow\quad\beta=-2
}{|}{.}\n
I&= \int^1_0\frac{x}{2}-2+\frac{4}{1+x}-\frac{2}{\pembrace{1+x}^2}dx\n
&= \cembrace{\frac{x^2}{4}-2x+4\ ln(1+x)+\frac{2}{1+x}}^1_0\n
&= \frac{1}{4}-2+4\ ln(2)+\frac{2}{2}-(2)\n
I&= \frac{1}{4}-3+4\ ln(2) = 4\ ln(2)-\frac{11}{4}
\end{split}
I I I = ∫ 0 1 2 x − 2 + ( 1 + x ) 2 4 x + 2 d x ( 1 + x ) 2 4 x + 2 = 1 + x α + ( 1 + x ) 2 β ( 1 + x ) 2 α ( 1 + x ) + β = ( 1 + x ) 2 α x + α + β { α = 4 α + β = 2 ⇒ β = − 2 = ∫ 0 1 2 x − 2 + 1 + x 4 − ( 1 + x ) 2 2 d x = [ 4 x 2 − 2 x + 4 l n ( 1 + x ) + 1 + x 2 ] 0 1 = 4 1 − 2 + 4 l n ( 2 ) + 2 2 − ( 2 ) = 4 1 − 3 + 4 l n ( 2 ) = 4 l n ( 2 ) − 4 11
