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Algèbre linéaire

Fabrice Mahi
Batiment 22 - p116
fabrice.mahi@univ-rennes1.fr

Rappels de logique et de raisonnement mathématiques

Exercice :

Négation de ∃!x∈E ∣ P(x) \exists!x\in E\ |\ P(x) :
(∀x∈E,¬P(x))∨(∃x∈E,∃y∈E ∣ >x≠y) ∧(P(x)∧P(y)) (\forall x\in E, \neg P(x))\vee(\exists x\in E, \exists y\in E\ |\ > x\ne y)\ \wedge (P(x) \wedge P(y))

Exemple 1.3 :

On émet l'hypothèse que les membres de A sont racines du polynome de B.

(x+1)(x−12)(x−2)(x−5) (x2−x2+x−12)(x2−5x−2x+10) (x2+x2−12)(x2−7x+10) x4−7x3+10x2+x32−72x2+5x−x22+72x−5 x4−132x3−6x2+172x−5\begin{split} &(x+1)(x-\frac12)(x-2)(x-5)\n &(x^2-\frac x2+x-\frac12)(x^2-5x-2x+10)\n &(x^2+\frac x2 -\frac12)(x^2-7x+10)\n &x^4-7x^3+10x^2+\frac{x^3}2-\frac72x^2+5x-\frac{x^2}2+\frac72x-5\n &x^4-\frac{13}{2}x^3-6x^2+\frac{17}2x-5 \end{split}

Exemple 1.4 :

Pour m : n2 n^2 pair → \rightarrow n pair
on a m : ¬(n pair)→¬(n2 pair) \neg(n\text{ pair}) \rightarrow \neg(n^2\text{ pair})
onam: \phantom{on a m : } n impaire →\rightarrow n2n^2 impair
∃k∈N,n=2k+1→n2=4k2+1=2(2k2+2k)+1 \exists k\in \N, n=2k+1\rightarrow n^2=4k^2+1=2(2k^2+2k)+1
=2m+1;m∈N \quad\quad=2m+1;m\in\N
⇒ \Rightarrow n2 n^2 est impair

Exemple 1.5 :

On suppose que 2=pq \sqrt2 = \frac pq avec p,q∈N∗ p,q\in\N^* et p et q premiers entre eux
⇒2=p2q2 \Rightarrow 2 = \frac{p^2}{q^2}
⇔p2=2q2 \Leftrightarrow p^2=2q^2
p2 p^2 pair ⇒ \Rightarrow p pair ⇒∃n∈N,p=2m \Rightarrow \exists n\in\N,p=2m
⇒2q2=4m2⇒q2=2m2⇒q \Rightarrow 2q^2=4m^2 \Rightarrow q^2=2m^2\Rightarrow q pair
⇒ \Rightarrow p et q ont 2 en diviseur commun

Exemple 1.6 :

Pour m : n2 n^2 pair ⇒n \Rightarrow n pair
On suppose que n2 n^2 pair et n n impair
n=2p+1⇒n2=2(2p2+2p)+1 n=2p+1 \Rightarrow n^2=2(2p^2+2p)+1
=2k+1⇒n2 \quad\quad=2k+1\Rightarrow n^2 impair

Exemple 1.7 :

∀n∈N,∑i=0ni=n(n+1)2 Init : n=0,∑i=000=0=0(0+1)2 Hyp : k∈N,∑i=0ki=k(k+1)2 Conc : Pour k+1∑i=0k+1i =∑i=0ki+k+1 =k(k+1)2+(k+1) =(k+1)∗(k2+1) =(k+1)∗(k+1)+12\begin{split} &\forall n\in\N,\sum_{i=0}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}\n &\text{Init : } n = 0, \sum_{i=0}^{0}0=0=\frac{0(0+1)}{2}\n &\text{Hyp : } k\in\N, \sum_{i=0}^{k}i=\frac{k(k+1)}{2}\n &\text{Conc : Pour } k+1 \sum_{i=0}^{k+1}i\n &=\sum_{i=0}^{k}i+k+1\n &=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)\n &=(k+1)*(\frac k2 + 1)\n &=(k+1)*\frac{(k+1)+1}{2} \end{split}

Exemple 1.8 :

Prenons la fonction f(x)=x+1 f(x)=x+1
f(1)=2 f(1) = 2 et f(−1)=0 f(-1) = 0
f(1)≠f(−1) f(1) \neq f(-1) et f(1)≠−f(1) f(1) \neq -f(1) donc f n'est ni paire ni impaire.
Ainsi l'assertion est fausse.

Exercice :

"L'application f de E vers F n'est pas une injection" équivaut à
∃(x,x′) ∣ (x≠x′)∧(f(x)=f(x′)) \exist (x,x')\ |\ (x\neq x')\wedge(f(x)=f(x'))